Metóda Monte Carlo

Náhoda hrá vo vede významnú úlohu. Mnohé dôležité objavy boli objavené na základe náhodných okolností. Niektoré sú možno iba mytologizáciou skutočnosti napríklad objav Archimedovho zákona a údajný beh nahého Archimeda Syrakúzami vykrikujúceho Heuréka! alebo Pád jablka na hlavu Newtona. Mnohé iné sa určite stali napríklad Flemingov objav penicilínu. Vo všetkých týchto prípadoch však popri náhode bolo dôležité, že príslušný vedec mal adekvátne vedomosti a tvorivú myseľ a tak hoci predtým tisíckam ľudí padli jablká či hrušky na hlavu, až Newton si dal veci do súvisu a prišiel na to, že rovnaká sila udržiava planéty okolo Slnka a Mesiac okolo Zeme, aká pôsobí na padajúce jablko, stovky vedcov mali neumyté misky a iba ich umyli, pričom si nevšimli žiadnu anomáliu až Fleming aj pri umývaní misiek premýšľal. Keď môže byť náhoda alebo omyl čas od času príčinou pokroku, stojí za úvahu, či neskúmať niektoré prírodné javy pomocou využitia náhody.

Pravdepodobne ste sa stretli s tým, že programovacie jazyky zvyknú mať funkciu, ktorá generuje pseudonáhodné čísla.  Dali by sa takto generované čísla využiť pri skúmaní prírodných javov? Podobnú otázku si asi prví položili  Stanisław Marcin Ulam a John von Neumann, ktorí sa podieľali na konštrukcii americkej atómovej bomby. V Los Alamos skúmali správanie sa neutrónov, skúmali napríklad koľko neutrónov prejde rôznymi druhmi materiálov. V tom čase vedci nevedeli navrhnúť adekvátnu teóriu, ktorá by predpovedala, ako sa budú neutróny správať. Využitím metódy Monte Carlo,  pomocou vtedajších z dnešného pohľadu primitívnych a pomalých počítačov problém elegantne vyriešili.

Predchodcom metódy Monte Carlo bola Buffonova ihla – pomocou hádzania ihly na linajkovaný papier sa experimentálne dá odhadnúť číslo \pi. Keď vzdialenosť medzi riadkami je rovnako veľká ako dĺžka ihly, dá sa matematicky dokázať, že pravdepodobnosť toho, že ihla pretne linajku je \cfrac{2}{\pi}. Ak ihlu hodíme npríklad tisíckrát a zaznamenáme, koľkokrát pretla linajku, môžeme približne odhadnúť hodnotu čísla \pi.

Odhad čísla \pi metódou Monte Carlo

Nakreslime kruh s priemerom r. Generujme náhodné čísla x a y tak, aby boli z intervalu -r a r. Nakreslime modrý bod, ak súradnice vygenerovaného bodu budú mimo kruh a červený bod, ak budú v kruhu. Keďže obsah kruhu je S_1=\pi\cdot r^2 a obsah štvorca je S_2=(2\cdot r)^2, pravdepodobnosť toho, že vygenerovaný bod padol do kruhu bude p=\cfrac{S_1}{S_2}, potom p=\cfrac{\pi \cdot r^2}{4\cdot r^2} a teda

p=\cfrac{\pi}{4}

\pi=4\cdot p

Ak urobíme dostatočne veľký počet pokusov, to čo nameriame sa veľmi blíži pravdepodobnosti, takže možno číslo \pi odhadnúť ako pomer počtu bodov, ktoré boli v kruhu, ku celkovému vygenerovanému počtu bodov.

\pi\approx\cfrac{4k}{n}, kde k – je počet bodov v kruhu a n – je počet všetkých vygenerovaných bodov.

 

V programovacom jazyku Imagine som naprogramoval odhad Ludolfovho čísla Metódou Monte Carlo. Vznikajú pritom celkom zaujímavé priam umelecké obrázky (keď kliknete na obrázok, zväčší sa):

montecarlo

V tomto behu programu bolo vygenerovaných 100000 bodov a Ludolfovo číslo bolo odhadnuté na 3.14716, čo je celkom dobrý odhad, keďže jeho skutočná hodnota na prvých piatich desatinných miestach je 3.14159.

Takto možno veľmi rýchlo odhadnúť plochu alebo objem ľubovoľných geometrických útvarov, ktoré inými matematickými metódami síce možno zistiť omnoho presnejšie, ale často s natoľko zložitým matematickým aparátom, že je pohodlnejšie použiť metódu Monte Carlo, ak nepotrebujeme veľmi presný výsledok. Chyba výsledku z n pokusov je úmerná \cfrac{1}{\sqrt{n}}. Čiže ak chceme zdesaťnásobiť presnosť odhadu, musíme vykonať 100 krát viac pokusov.

Testovanie PISA

02.04.2025

Dnes sa naša škola zapojila do medzinárodného testovania PISA. Keď som v minulosti čítal články o tom, ako Burkina Faso či iné štáty v našom povedomí „menejcenné“ sa v takýchto testoch umiestňujú lepšie, či aspoň porovnateľne s nami, tak mi to bolo podozrivé. Už mi to podozrivé nie je, už možno tuším, kde je pes zakopaný.

Ku dňu učiteľov: Zákaz umelej inteligencie na školách?

28.03.2025

Prajem všetko najlepšie svojim kolegom a kolegyniam, učiteľom a hlavne učiteľkám, ku dňu učiteľom. Neviem, či to Komenský naozaj napísal: „Učiteľ by mal menej učiť a o to viac naučiť.“ Po zákaze mobilov na školách nám možno hrozí aj zákaz umelej inteligencie. Silne parafrázujem výrok kohosi múdrejšieho, než som ja: „Dnešná škola [...]

3D tlač (3). 10 najčastejších otázok

09.03.2025

Keď som sa učil pracovať s 3D tlačiarňou, pravidelne som kládol otázky umelej inteligencii Gemini. Položil som jej otázku: Vygeneruj 10 najčastejších otázok o 3D tlači. UI vygenerovala týchto 10 otázok a zároveň vygenerovala stručné odpovede.

pápež František, pohreb, Vatikán

ONLINE: Ľudia zapĺňajú námestie svätého Petra, čakajú na pohreb pápeža

26.04.2025 06:50

Na pohrebe pápeža Františka sa očakáva účasť 200-tisíc ľudí, od rána už prúdili na námestie svätého Petra.

vojna na Ukrajine

ONLINE: Trump sa obrátil na Kyjev aj Moskvu, žiada o stretnutie

26.04.2025 06:00

Trump vyzval Ukrajinu a Rusko na stretnutie, dohoda je podľa neho veľmi blízko.

Putin, Trump

Rusko si z Ameriky uťahuje. Trump pred Putinom kapituloval, myslí si dánsky vojenský analytik

26.04.2025 06:00

Americký prezident Donald Trump v šéfovi Kremľa Vladimirovi Putinovi posilňuje pocit, že je na ceste k víťazstvu a že čas hrá v jeho prospech.

Vatikán pápež úmrtie telo vystavenie obrady bazilika

Ako bude vyzerať posledná rozlúčka s pápežom? Státisíce smútiacich, veľkolepá ceremónia a zákaz letov nad Rímom

26.04.2025 06:00

Napriek tomu, že František počas pontifikátu presadzoval jednoduchosť, ceremónia bude veľkolepá

Tibor Menyhért

Tak dlho sa hádali na maličkostiach, až z toho bola veličkosť

Štatistiky blogu

Počet článkov: 168
Celková čítanosť: 520255x
Priemerná čítanosť článkov: 3097x

Autor blogu

Kategórie