Založ si blog

Metóda Monte Carlo

Náhoda hrá vo vede významnú úlohu. Mnohé dôležité objavy boli objavené na základe náhodných okolností. Niektoré sú možno iba mytologizáciou skutočnosti napríklad objav Archimedovho zákona a údajný beh nahého Archimeda Syrakúzami vykrikujúceho Heuréka! alebo Pád jablka na hlavu Newtona. Mnohé iné sa určite stali napríklad Flemingov objav penicilínu. Vo všetkých týchto prípadoch však popri náhode bolo dôležité, že príslušný vedec mal adekvátne vedomosti a tvorivú myseľ a tak hoci predtým tisíckam ľudí padli jablká či hrušky na hlavu, až Newton si dal veci do súvisu a prišiel na to, že rovnaká sila udržiava planéty okolo Slnka a Mesiac okolo Zeme, aká pôsobí na padajúce jablko, stovky vedcov mali neumyté misky a iba ich umyli, pričom si nevšimli žiadnu anomáliu až Fleming aj pri umývaní misiek premýšľal. Keď môže byť náhoda alebo omyl čas od času príčinou pokroku, stojí za úvahu, či neskúmať niektoré prírodné javy pomocou využitia náhody.

Pravdepodobne ste sa stretli s tým, že programovacie jazyky zvyknú mať funkciu, ktorá generuje pseudonáhodné čísla.  Dali by sa takto generované čísla využiť pri skúmaní prírodných javov? Podobnú otázku si asi prví položili  Stanisław Marcin Ulam a John von Neumann, ktorí sa podieľali na konštrukcii americkej atómovej bomby. V Los Alamos skúmali správanie sa neutrónov, skúmali napríklad koľko neutrónov prejde rôznymi druhmi materiálov. V tom čase vedci nevedeli navrhnúť adekvátnu teóriu, ktorá by predpovedala, ako sa budú neutróny správať. Využitím metódy Monte Carlo,  pomocou vtedajších z dnešného pohľadu primitívnych a pomalých počítačov problém elegantne vyriešili.

Predchodcom metódy Monte Carlo bola Buffonova ihla – pomocou hádzania ihly na linajkovaný papier sa experimentálne dá odhadnúť číslo \pi. Keď vzdialenosť medzi riadkami je rovnako veľká ako dĺžka ihly, dá sa matematicky dokázať, že pravdepodobnosť toho, že ihla pretne linajku je \cfrac{2}{\pi}. Ak ihlu hodíme npríklad tisíckrát a zaznamenáme, koľkokrát pretla linajku, môžeme približne odhadnúť hodnotu čísla \pi.

Odhad čísla \pi metódou Monte Carlo

Nakreslime kruh s priemerom r. Generujme náhodné čísla x a y tak, aby boli z intervalu -r a r. Nakreslime modrý bod, ak súradnice vygenerovaného bodu budú mimo kruh a červený bod, ak budú v kruhu. Keďže obsah kruhu je S_1=\pi\cdot r^2 a obsah štvorca je S_2=(2\cdot r)^2, pravdepodobnosť toho, že vygenerovaný bod padol do kruhu bude p=\cfrac{S_1}{S_2}, potom p=\cfrac{\pi \cdot r^2}{4\cdot r^2} a teda

p=\cfrac{\pi}{4}

\pi=4\cdot p

Ak urobíme dostatočne veľký počet pokusov, to čo nameriame sa veľmi blíži pravdepodobnosti, takže možno číslo \pi odhadnúť ako pomer počtu bodov, ktoré boli v kruhu, ku celkovému vygenerovanému počtu bodov.

\pi\approx\cfrac{4k}{n}, kde k – je počet bodov v kruhu a n – je počet všetkých vygenerovaných bodov.

 

V programovacom jazyku Imagine som naprogramoval odhad Ludolfovho čísla Metódou Monte Carlo. Vznikajú pritom celkom zaujímavé priam umelecké obrázky (keď kliknete na obrázok, zväčší sa):

montecarlo

V tomto behu programu bolo vygenerovaných 100000 bodov a Ludolfovo číslo bolo odhadnuté na 3.14716, čo je celkom dobrý odhad, keďže jeho skutočná hodnota na prvých piatich desatinných miestach je 3.14159.

Takto možno veľmi rýchlo odhadnúť plochu alebo objem ľubovoľných geometrických útvarov, ktoré inými matematickými metódami síce možno zistiť omnoho presnejšie, ale často s natoľko zložitým matematickým aparátom, že je pohodlnejšie použiť metódu Monte Carlo, ak nepotrebujeme veľmi presný výsledok. Chyba výsledku z n pokusov je úmerná \cfrac{1}{\sqrt{n}}. Čiže ak chceme zdesaťnásobiť presnosť odhadu, musíme vykonať 100 krát viac pokusov.

Diplomovka

15.11.2020

Obhájil som diplomovku, ani neviem ako. Sám som si ju nenapísal, predsa nie som pako. Študentky a študentíci, načo študujete, v parlamente vedomosti nepotrebujete. Predseda nám vždy ukáže, jak hlasovať treba, sám volič si za to môže, že nemá na chleba. My musíme nosiť rúška, Igor však nemusí, že sme preňho iba svoloč, zverejní statusy, o ponožkách, o [...]

Prechádzka od 1: 00 do 5: 00

14.11.2020

Poďme sa priatelia prechádzať od jednej do piatej poďme to spolu spočítať tej vláde prekliatej. Boli sme sa spolu testovať, postáli si v rade, boli sa spolu nakaziť, nech covid je všade. Poďme si spoločne vypočuť tlačovku Matelka, keď je tam tento nedouk, vypína sa telka. Spoločne sme si to skazili, pravdu má premiér, veď sme ho na jar zvolili, takže je všetko fér.

Plošné testovanie a žonglovanie s číslami (2)

10.11.2020

V predchádzajúcom článku som z matematického pohľadu analyzoval prvé kolo plošného testovania. Po druhom kole k tomu v podstate nemožno nič nové zmysluplného dodať, iba možno konštatovať Pat a Mat (Naď a Matovič) naďalej žonglujú s číslami, ako sa im zachce. Bez ohľadu, aké percento pozitívnych by v druhom kole vyšlo, bol by to dôkaz toho, že plošné testovanie Ag [...]

zmena klimy  klimaticka zmena  klima

November bol najteplejší v histórii, rekordný bude aj celý rok 2023

06.12.2023 05:43

Priemerná novembrová teplota bola 14,22 stupňa Celzia, čo je o 0,85 stupňa viac, ako predstavuje priemer posledných troch desaťročí

húfnica

Húfnice dostane ukrajinská armáda skôr ako tá slovenská. Rozhodol o tom Naď, Kaliňák žiada audit

06.12.2023 05:30

„Všetko mešká, neexistuje zbrojná výroba, ktorá by nemeškala. Je to rozbité. Diali sa tu neuveriteľné veci a Zuzana prejde auditom,“ zdôraznil Kaliňák.

Andrejovské trhy, Liptov, mReportér

Sneh, tma, technické problémy a punč za 2,50 eura. Ako vyzerali trhy na Liptove?

06.12.2023 05:00

Zábery z trhov v Ružomberku zachytil náš mReportér.

lech walesa

Bývalý poľský prezident Walesa bol hospitalizovaný s ochorením COVID-19

05.12.2023 22:34

Walesov stav je vážny, no je o neho dobre postarané v nemocnici v Gdaňsku.

Tibor Menyhért

Tak dlho sa hádali na maličkostiach, až z toho bola veličkosť

Štatistiky blogu

Počet článkov: 160
Celková čítanosť: 467686x
Priemerná čítanosť článkov: 2923x

Autor blogu

Kategórie