Založ si blog

Metóda Monte Carlo

Náhoda hrá vo vede významnú úlohu. Mnohé dôležité objavy boli objavené na základe náhodných okolností. Niektoré sú možno iba mytologizáciou skutočnosti napríklad objav Archimedovho zákona a údajný beh nahého Archimeda Syrakúzami vykrikujúceho Heuréka! alebo Pád jablka na hlavu Newtona. Mnohé iné sa určite stali napríklad Flemingov objav penicilínu. Vo všetkých týchto prípadoch však popri náhode bolo dôležité, že príslušný vedec mal adekvátne vedomosti a tvorivú myseľ a tak hoci predtým tisíckam ľudí padli jablká či hrušky na hlavu, až Newton si dal veci do súvisu a prišiel na to, že rovnaká sila udržiava planéty okolo Slnka a Mesiac okolo Zeme, aká pôsobí na padajúce jablko, stovky vedcov mali neumyté misky a iba ich umyli, pričom si nevšimli žiadnu anomáliu až Fleming aj pri umývaní misiek premýšľal. Keď môže byť náhoda alebo omyl čas od času príčinou pokroku, stojí za úvahu, či neskúmať niektoré prírodné javy pomocou využitia náhody.

Pravdepodobne ste sa stretli s tým, že programovacie jazyky zvyknú mať funkciu, ktorá generuje pseudonáhodné čísla.  Dali by sa takto generované čísla využiť pri skúmaní prírodných javov? Podobnú otázku si asi prví položili  Stanisław Marcin Ulam a John von Neumann, ktorí sa podieľali na konštrukcii americkej atómovej bomby. V Los Alamos skúmali správanie sa neutrónov, skúmali napríklad koľko neutrónov prejde rôznymi druhmi materiálov. V tom čase vedci nevedeli navrhnúť adekvátnu teóriu, ktorá by predpovedala, ako sa budú neutróny správať. Využitím metódy Monte Carlo,  pomocou vtedajších z dnešného pohľadu primitívnych a pomalých počítačov problém elegantne vyriešili.

Predchodcom metódy Monte Carlo bola Buffonova ihla – pomocou hádzania ihly na linajkovaný papier sa experimentálne dá odhadnúť číslo \pi. Keď vzdialenosť medzi riadkami je rovnako veľká ako dĺžka ihly, dá sa matematicky dokázať, že pravdepodobnosť toho, že ihla pretne linajku je \cfrac{2}{\pi}. Ak ihlu hodíme npríklad tisíckrát a zaznamenáme, koľkokrát pretla linajku, môžeme približne odhadnúť hodnotu čísla \pi.

Odhad čísla \pi metódou Monte Carlo

Nakreslime kruh s priemerom r. Generujme náhodné čísla x a y tak, aby boli z intervalu -r a r. Nakreslime modrý bod, ak súradnice vygenerovaného bodu budú mimo kruh a červený bod, ak budú v kruhu. Keďže obsah kruhu je S_1=\pi\cdot r^2 a obsah štvorca je S_2=(2\cdot r)^2, pravdepodobnosť toho, že vygenerovaný bod padol do kruhu bude p=\cfrac{S_1}{S_2}, potom p=\cfrac{\pi \cdot r^2}{4\cdot r^2} a teda

p=\cfrac{\pi}{4}

\pi=4\cdot p

Ak urobíme dostatočne veľký počet pokusov, to čo nameriame sa veľmi blíži pravdepodobnosti, takže možno číslo \pi odhadnúť ako pomer počtu bodov, ktoré boli v kruhu, ku celkovému vygenerovanému počtu bodov.

\pi\approx\cfrac{4k}{n}, kde k – je počet bodov v kruhu a n – je počet všetkých vygenerovaných bodov.

 

V programovacom jazyku Imagine som naprogramoval odhad Ludolfovho čísla Metódou Monte Carlo. Vznikajú pritom celkom zaujímavé priam umelecké obrázky (keď kliknete na obrázok, zväčší sa):

montecarlo

V tomto behu programu bolo vygenerovaných 100000 bodov a Ludolfovo číslo bolo odhadnuté na 3.14716, čo je celkom dobrý odhad, keďže jeho skutočná hodnota na prvých piatich desatinných miestach je 3.14159.

Takto možno veľmi rýchlo odhadnúť plochu alebo objem ľubovoľných geometrických útvarov, ktoré inými matematickými metódami síce možno zistiť omnoho presnejšie, ale často s natoľko zložitým matematickým aparátom, že je pohodlnejšie použiť metódu Monte Carlo, ak nepotrebujeme veľmi presný výsledok. Chyba výsledku z n pokusov je úmerná \cfrac{1}{\sqrt{n}}. Čiže ak chceme zdesaťnásobiť presnosť odhadu, musíme vykonať 100 krát viac pokusov.

Kurz bridžu v Košiciach

23.02.2018

Pokiaľ niekoho z vás zaujali moje články o bridži a ste z Košíc a okolia, môžete sa zúčastniť Kurzu bridžu pre začiatočníkov. Prvá lekcia sa koná 8.3.2018 o 17:00 v budove Ústavu matematických viac »

Manipulujúci a či oči otvárajúci prieskum?

08.10.2017

Richard Sulík zadal agentúre Polis vypracovať prieskum verejnej mienky, ktorý okrem iných a v prvom rade označil premiér Fico za manipulatívny. Boli alebo neboli otázky manipulatívne? Hoci som viac »

Z motívov Laca Novomeského

26.09.2017

Až prestanú nám listy čítať, až neľud ľudí spozná v nás, až pominie sa vleká kríza, až odídu sťa dedo Mráz, jak úbohý bol povieme si, čas výložiek, smiech v náreku, v ktorom bol viac »

ČR, Zeman, Babiš, premiér, vymenovanie

Babiš navrhol na ministra Pocheho. Zeman s ním nesúhlasí pre postoj k migrácii

25.06.2018 13:20

Český prezident postupne prijíma štvoricu nominantov na nových ministrov v menšinovom kabinete, ktorý zostavujú hnutie ANO a sociálni demokrati.

Mochovce, atómová elektráreň

Premiér pôjde v júli skontrolovať, prečo meškajú Mochovce

25.06.2018 13:08

Kontrolný deň v Mochovciach na dostavbe tretieho a štvrtého bloku (EMO34) by mal byť 10. júla.

Chargebrella

Slnečná nabíjačka funguje aj potme

25.06.2018 13:00

Narodil sa vo Svidníku a vyrastal v Košiciach, kde vyštudoval Technickú univerzitu. Už ako dieťa staval s kamarátmi modely lodí, ponoriek a navštevoval rádioamatérsky krúžok.

Farmári na traktoroch v Bratislave

OĽaNO vyzýva poslancov koalície, aby zahlasovali za návrh na pomoc farmárom

25.06.2018 12:31

Už v pondelok popoludní môžu podľa predstaviteľov OĽaNO ukázať koaliční poslanci, ako im záleží na slovenských farmároch.

Tibor Menyhért

Tak dlho sa hádali na maličkostiach, až z toho bola veličkosť

Štatistiky blogu

Počet článkov: 135
Celková čítanosť: 166933x
Priemerná čítanosť článkov: 1237x

Autor blogu

Kategórie